Problema de optimización

Untitled Slide

• Una ventana tiene forma de rectángulo coronado por un triangulo equilátero. Encuentre las dimensiones del rectángulo para que la ventana permita la máxima entrada de luz, si el perímetro de la misma debe ser 12 metros.
• X – Base del rectángulo Y – Altura del rectángulo La base del triangulo será la misma del rectángulo y al tratarse de un rectángulo equilátero todos sus lados tendrán la misma medida.

Untitled Slide

• Perímetro P = 12 Y + X + Y + X + X = 12 3X + 2Y = 12 Expresión #1 Para encontrar las dimensiones del rectángulo debemos encontrar el área de toda la ventana.
• Área A = área del rectángulo + área del triangulo A = XY + X² 3ˆ½ /4 A = XY + 0.43 X² Expresión #2

Untitled Slide

• En la ecuación A = XY + 0.43 X² tenemos dos incógnitas por lo tanto recurriremos a usar la Expresión #1 3X + 2Y = 12 en la cual despejaremos Y para que la ecuación del área nos quede solo en términos de X. Y = 12 – 3X/ 2 Y = 12/2 - 3X/2 Y = 6 – 1.5X Expresión #3 Ahora reemplazamos la Expresión #3 en la ecuación del área A = X (6 – 1.5X) + 0.43 X² Aplicamos la ley distributiva A = 6X – 1.5 X² + 0.43 X² A = 6X – 1.07 X² Expresión #4

Untitled Slide

• Ahora tenemos el área expresada en términos de X A(x) debemos encontrar la primera y segunda derivada de la Expresión #4 A = 6X – 1.07 X² A’(x) = 6 – 2.14X A’’(x) = – 2.14 Ahora encontraremos los puntos críticos los que nos maximizaran o minimizaran el área usando la primera derivada de la función. A’(x) = 6 – 2.14X = 0 X = -6/-2.14 X = 2.80m Gracias a la segunda derivada A’’(x) = – 2.14 podemos saber que la función es cóncava hacia abajo y está produciendo un valor máximo, por lo tanto el valor de X está maximizando el área de la ventana.

Untitled Slide

• Ahora para encontrar todas las dimensiones de la ventana, haremos uso de la Expresión #3 Y = 6 – 1.5X reemplazando el valor de X para encontrar Y.
• Y = 6 – 1.5(2.80) Y = 6 – 4.2 Y = 1.80m
• Base: 2.80m
• Altura : 1.80m